认识数字，数字认知？

大家好，欢迎来到《10分钟数学中考复习》，我是红色winds。

从这一讲开始，让我们一起回顾初中三年的数学知识吧！

从哪里开始呢？从字开始。

1.数的分类

在初中阶段，我们经常遇到各种各样的数，其中大部分都是实数。为了更高效地进行研究和学习，我们需要对这些实数进行分类。

怎么进行分类呢？有两种方法。

第一种，按大小分。

根据数值的大小，实数可以分为正数、0和负数。正数大于0，而0又大于负数。需要注意的是，0既不属于正数，也不属于负数。

有的同学可能认为，负数只是在正数前面加上一个负号，看起来很简单。

实际上，在数学中，我们使用正负来表示相反的意义。当我们将一个量定义为正数时，另一个量就被定义为负数。例如，如果我们将向前移动5米表示为“+5”，那么向后移动3米就表示为“-3”；如果我们借了100块钱表示为“+100”，那么还了50块钱就表示为“-50”。

当一个数字加上“+”或“-”符号，它所传达的信息就更加详细和具体了。

第二种，按定义分。

根据定义，实数可以分为有理数和无理数。有理数是可以表示为两个整数的比值的数，而无理数则不能用有限的整数比值来表示。有理数包括整数、分数和小数，而无理数则包括无限不循环小数，如π和√2等。有理数和无理数共同构成了实数集合，展示了数学中丰富多样的数值特性。

有理数又分为两类：

一种类型的数字是整数，例如-2、-1、0、1、2、55等等。在这些整数中，正整数和0被称为自然数；能够被2整除的整数被称为偶数，而不能被2整除的整数被称为奇数。

另外一种类型是分数，例如1/2、-2/5、1/3、33/7等等。从形式上看，分数实际上可以看作是两个整数相除的结果，有两种可能的形式：第一种是有限小数，例如1/2等于0.5、-2/5等于-0.4等等；第二种是无限循环小数，例如-1/3等于-0.333…、33/7等于4.142857142857…等等。

有的同学可能会注意到，既然我们提到了有限小数和无限循环小数，那么是否存在无限不循环小数呢？确实存在这样的数，但是无限不循环小数并不属于有理数的范畴，而是属于无理数的一种。无理数的定义就是无限不循环小数。

你能给我举一个例子吗？有些人可能会感到困惑，但实际上很简单。我先给你举一个例子，0.123456789…就是一个无理数，因为它的小数部分既无限，又不循环。还有其他的例子吗？当然有很多，比如1.010010001…、2.121231234…等等，这样的例子可以举出很多。相信你也能想到很多类似的例子。

除了这种有规律的无限不循环小数，初中阶段遇到的无理数还有其他三种常见的形式：

首先是无理数的代数形式，它们可以用代数方程的根来表示。例如，根号2、根号3和根号5都是无理数，它们无法被有理数表示为一个有限的小数或循环小数。

其次是无理数的几何形式，它们可以用几何图形的长度或面积来表示。例如，圆周率π就是一个无理数，它表示圆的周长与直径的比值，无法被有理数表示为一个有限的小数或循环小数。

最后是无理数的级数形式，它们可以用无限级数的和来表示。例如，自然对数的底数e就是一个无理数，它可以用无限级数1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + …来表示，无法被有理数表示为一个有限的小数或循环小数。

这些无理数形式在初中数学中经常出现，对于学生来说，理解和应用这些概念是很重要的。

①开不尽的数是指无法被整数完全开平方的数，例如√2、√3、√5等。这些数被称为无理数，因为它们的小数部分是无限不循环的。无理数的开方结果是无限不循环的小数，无法用有限的小数表示。这些数在数学中起着重要的作用，它们的存在使得数轴上的每个点都有对应的数值。无理数的开方运算是一种常见的数学运算，它在实际应用中有着广泛的应用，例如在几何学、物理学和工程学等领域。

②简化含有π的数，例如π、π/3等。

③包含根式的三角函数值，例如sin45°、cos30°、tan60°等。

掌握数的分类，我们能够迅速确定一个数所属的类型。

2.数轴

提到数学工具，就不得不提到一个非常实用的几何工具——数轴。

数轴是一种用来表示数值大小和位置关系的直线图形。它通常由一条直线和上面的刻度线组成，刻度线上标有数字，用来表示不同的数值。数轴的左侧通常表示较小的数值，右侧表示较大的数值。通过数轴，我们可以直观地理解数值之间的大小关系，进行数值比较和计算。

数轴在数学教学和实际应用中都起着重要的作用。在数学教学中，数轴可以帮助学生理解正数、负数、小数和分数的概念，以及它们之间的大小关系。通过在数轴上标出数值，学生可以更好地掌握数值的相对位置和大小。在实际应用中，数轴可以用来解决各种问题，比如表示温度变化、距离和时间的关系等。

总之，数轴是一个非常实用的几何工具，它可以帮助我们更好地理解数值之间的大小关系，进行数值比较和计算。无论是在数学教学还是实际应用中，数轴都发挥着重要的作用。

数轴是怎么画出来的？

首先，我们需要开始画一条直线，并确定一个起点。

接下来，我们需要进行第二步，即画箭头并确定其正方向。

接下来，我们需要进行第三步，即绘制刻度。在进行绘制时，需要特别注意单位长度的统一。

这样，一个完整的数轴就画出来了。数轴的三个关键要素是原点、正方向和单位长度，缺一不可。

实数与数轴上的点之间存在一一对应的关系。换句话说，对于任何一个实数，都可以在数轴上找到一个唯一的点来表示；反之亦然，对于数轴上的任何一个点，都可以找到一个唯一的实数来表示。

那数轴好用在哪里呢？

首先，要掌握一些数学概念，例如相反数和绝对值。

其次，掌握运算原理是非常重要的，比如加法和减法。

其次，我们来比较一下实数的大小。

其次，两条数轴可以结合形成一个平面直角坐标系。

……

还有很多其他的用法，这里就不一一详述了。如果你对此感兴趣的话，可以尝试在网上搜索一下，会有更多的相关信息供你参考。

今天我们先到这里结束，下次我们再继续讲。

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